数理统计期末复习.md

8. 求统计量的期望与方差：

题目

设 是来自总体 的样本，则

(1) 证明：

(2) 已知 ，试求 k，使得

解答

（1）证明：；

首先，对于正态分布的样本 ，我们知道 服从自由度为 的卡方分布乘以 ，即：

$$\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \sim \sigma^2 \chi^2(n-1)$$

卡方分布的二阶原点矩为 。因此，

$$E\left[\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\right)^2\right] = \sigma^4 \cdot E[\chi^2(n-1)^2] = \sigma^4 \cdot (n-1)(n-1 + 2) = \sigma^4 \cdot (n-1)(n+1) = \sigma^4(n^2 - 1)$$

（2）已知 ，试求 使得 。

方差 的计算为：

$$D\eta = \text{Var}\left( \frac{1}{\sqrt{k}} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right) = \frac{1}{k} \text{Var}\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right)$$

根据问题（1）的结果，我们知道：

$$E\left[\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\right)^2\right] = (n^2 - 1)\sigma^4$$

而方差的计算为：

$$\text{Var}\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right) = E\left[\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right)^2\right] - \left( E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right] \right)^2$$

其中，，因此：

$$\text{Var}\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right) = (n^2 - 1)\sigma^4 - (n - 1)^2\sigma^4 = 2(n - 1)\sigma^4$$

代入到方差 中：

$$D\eta = \frac{1}{k} \cdot 2(n - 1)\sigma^4$$

题目要求 ，解得：

$$\frac{2(n - 1)}{k} \sigma^4 = 2\sigma^4 \implies k = n - 1$$

最终答案：
（1）；
（2）

4

4、置信区间的求解。如：设总体 ，已知 ，若 ，则样本容量 至少为
时，才能保证 的 95%的置信区间长度不大于 。

设总体 ，已知 ，求样本容量 至少为多少时，才能保证 的 95% 的置信区间长度不大于 。

1. 置信区间公式：当总体方差已知时， 的 95% 置信区间为：

   $$\left( \bar{x} - Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

   其中 是标准正态分布的双侧分位数，对应 ，此时 。

2. 置信区间长度：置信区间的长度为：

   $$2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

   题目要求该长度不大于 ，即：

   $$2 \cdot 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq l$$

3. 代入已知条件：已知 ，故 。代入上述不等式：

   $$2 \cdot 1.96 \cdot \frac{l\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \leq l$$

4. 化简不等式：

   $$\frac{2 \cdot 1.96 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{n}} \leq 1$$

   解得：

   $$\sqrt{n} \geq 2 \cdot 1.96 \cdot \sqrt{2}$$

   两边平方：

   $$n \geq (2 \cdot 1.96 \cdot \sqrt{2})^2$$

5. 计算数值：

   $$2 \cdot 1.96 = 3.92$$ $$3.92 \cdot \sqrt{2} \approx 3.92 \cdot 1.4142 \approx 5.543$$ $$(5.543)^2 \approx 30.72$$

   因此 至少为 31（向上取整）。

6. 验证：当 时，置信区间长度约为 ，满足条件；当 时，长度约为 ，不满足条件。

最终答案：

$$\mathbf{31}$$

求正态总体的均值与方差的双侧置信区间？

当总体 时，其均值 和方差 的双侧置信区间的求法如下：

均值 的双侧置信区间

1. 方差已知 ：

   • 样本容量为 ，样本均值为 ，置信度为 。
   • 置信区间为： $$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ 其中， 是标准正态分布的分位数。

2. 方差未知 ：

   • 样本容量为 ，样本均值为 ，样本标准差为 ，置信度为 。
   • 置信区间为： $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中， 是自由度为 的t分布的分位数。

方差 的双侧置信区间

• 样本容量为 ，样本方差为 ，置信度为 。
• 置信区间为： $$\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}(n-1)} \right)$$ 其中， 和 是自由度为 的卡方分布的分位数。# 第二章统计量及其分布

判断一个式子是不是统计量（statistic）

统计量是样本的函数，它的取值只依赖于样本数据，不依赖于总体中未知的参数。

✅ 是否完全由样本数据组成？

• 统计量只能由样本 构成。
• 它不能包含未知的总体参数（如总体均值 、总体方差 、分布形式等）。

✅ 总结：记住一句话：

统计量 = 只依赖样本，不依赖总体参数的函数。

---

t分布

$$T = \frac{Z}{\sqrt{V / \nu}} \sim t(\nu)$$

其中：

• ：标准正态分布
• ：自由度为 的卡方分布
• 和 相互独立
• 就服从自由度为 的 t 分布

这个公式说明了：t 分布是正态分布与卡方分布构成的比值，并通过卡方除以自由度进行标准化。自由度越大，t 分布越接近标准正态分布。

7. 无偏估计证明、有效率的证明。

如：设总体 ， 为 的样本， 为已知。证明：

(1) 为 的无偏估计量；(2) 统计量 的有效率为 。

（1）证明统计量 是 的无偏估计量。

1. 计算期望值：

   • 每个样本 服从正态分布 ，因此 。
   • 对于正态分布 ，其绝对值的期望值为 。

2. 统计量 的期望：

   • 统计量 。
   • 期望值 。

因此， 是 的无偏估计量。

（2）统计量 的有效率

1. 计算方差：

   • 单个项的方差 。
   • 统计量 的方差 。

2. Cramér-Rao 下界 (CRB)：

   • 对于正态分布 ，参数 的 Fisher 信息量为 ，因此 CRB 为 。

3. 计算有效率：

   • 有效率定义为 CRB 与统计量方差的比率：。

最终答案

（1） 是 的无偏估计量；

（2）统计量 的有效率为 。

$$\mathbf{\frac{4}{\pi - 2}}$$

证明一致估计

1. 设是参数的估计量。
2. 证明是无偏估计，即。
3. 证明。
4. 根据切比雪夫不等式，。
5. 将代入，得。
6. 当时，，所以。
7. 这证明了依概率收敛于，即是一致估计。

证明有效估计

1. 写出样本的联合概率密度函数或概率质量函数（似然函数）： 。
2. 取对数似然函数： 。
3. 对对数似然函数关于参数求一阶偏导： 。
4. 对一阶偏导再次关于参数求偏导（二阶偏导）： 。
5. 计算费希尔信息量： 。对于独立同分布样本，也可以计算单个样本的费希尔信息量，则。
6. 得到Cramér-Rao下界 (CRLB)： 。这是任何无偏估计量方差的下界。
7. 证明估计量是无偏的： 验证。
8. 计算估计量的方差： 确定。
9. 比较方差与CRLB： 如果，则是有效估计量。

求均值的置信区间通常分两种情况：

情况一：总体方差 已知

1. 确定置信水平： 例如 95%。
2. 找到对应的 Z 值： 对于 95% 置信水平，双侧 Z 值为 ，其中 。例如，95% 对应 。
3. 计算标准误差： ，其中 是总体标准差， 是样本大小。
4. 计算置信区间： 样本均值 。
   区间为 。

情况二：总体方差 未知

1. 确定置信水平： 例如 95%。
2. 计算样本标准差： 。
3. 确定自由度： 。
4. 找到对应的 t 值： 对于给定的置信水平和自由度，找到双侧 t 值 。
5. 计算标准误差： 。
6. 计算置信区间： 样本均值 。
   区间为 。

注意：

• 这些方法假设样本来自正态分布总体，或者样本量足够大（根据中心极限定理）。
• 是显著性水平，。